정제된 개념과 정제되지 않은 개념은 1등급과 3등급을 나눕니다.
좋은 개념은 아주 어려운 내용도 쉽게 설명할 수 있습니다.
어려운 내용을 쉽게 설명하고, 그것을 대다수의 학생이 쉽게 받아들일 수 있다면, 그 개념은 아주 깔끔하게 정리된 상태입니다.
개념은 이 정도의 퀄리티로 배우는 것이 좋습니다.
일반적으로 선생님들은 학생들의 입장에서 설명이 안되기는 합니다.
그 이유는 한 방향으로 설명하는 경우가 많기 때문입니다.
선생님이 설명한 내용이 학생에게 어떤 효과를 가져다 주는 지에 대한 피드백을 받는 경우가 많지 않습니다.
특히, 칠판 수업으로 진행하는 경우 그러한 경향이 더욱 강해집니다.
선생님은 설명하고, 학생들은 대부분 단순히 받아들이기 때문입니다.
저는 10년 전에 칠판 수업을 해보면서 깨닫고 칠판 수업에서 8년 전에 개별진도 수업으로 완전히 바꾸었습니다.
개념을 문제집에 써있는 수준만 읽고 문제 풀이를 하는 경우 실력이 잘 올라가지 않습니다.
학생은 자신이 받아들일 수 있는 정도까지만 받아들이기 때문입니다.
즉, 이 경우에는 학생의 수학 실력이 수학 유전자를 따라갑니다.
저 역시 과외 초창기 시절(15년 전) 이런 방식으로 설명해봤지만 잘하는 학생은 잘하고, 못하는 학생은 못했습니다.
이 방식으로는 도저히 학생을 변화시킬 수 없었습니다.
개념은 학생들의 공통된 사고 방식에 맞게 정제되어야 합니다.
1년 중 360일 정도 매일 8시간 이상 15년간 개인 수업을 해본 저도 제각기 다른 학생들의 사고 방식을 아직도 파악하기 힘이 듭니다.
하지만 어렴풋이 공통점을 찾아내서 수업에 녹여내고 있습니다.
설명을 한 즉시 피드백을 받아서 그 자리에서 설명을 수정합니다.
점점 설명이 학생들의 눈높이로 변해갑니다.
이와 같이 설명을 쉽게 바꾸어 다수의 학생들에게 설명을 하면, 정말 쉽게 전달이 됩니다. 그래서 습득률은 지속적으로 높아집니다.
만약 선생님 혼자서 생각한 대로 설명을 하면 알아 들을 수 있는 학생만 알아듣고 나머지 학생은 수업 내용이 머리를 스쳐 지나가기만 합니다.
개념을 얼마나 정제를 했는 지에 따라서 수학 습득률이 달라집니다.
학생이 수학머리가 있든 없든 개념 정제율이 학생의 실력에 더 큰 영향을 줍니다.
하나의 개념을 각 학생들에게 설명을 해보면서 수정을 100번 이상 하다보면, 대부분의 학생들이 받아들일 수 있는 개념으로 바뀌게 됩니다.
현실적으로 불가능하지만 증명수학에서는 그것을 실제로 해나가고 있습니다.
학생들은 개념 설명이 이해가 안되면 즉시 쉽게 설명해달라고 요청을 해야 합니다.
어려운 내용을 어렵게 해석을 하게 되어 학생이 못 알아듣는 경우가 생긴다면 수학 사고가 꼬일 가능성이 높습니다.
그렇게 오개념이 자리를 잡게 되어 그 부분을 수정하기까지 매우 오랜 시간이 걸릴 수 있습니다.
따라서 어려운 내용을 이해하지 못한다면, 그 즉시 선생님에게 쉽게 설명해 달라고 부탁을 해야 합니다.
만약 그 부분이 해결이 안 될 경우 그 내용을 아예 듣지 않는 것이 나중을 위해 더 좋습니다.
정제된 개념이 곧 수학 실력이다.
증명수학