아픈 기억의 나머지 정리
저는 중학교에서 극상위권이었고, 이를 바탕으로 좋은 고등학교에 입학하였습니다.
하지만 학교에서 나머지 정리를 들으면서 ‘저게 대체 뭔 소리지’라며 수학을 2년간 놓게 되었습니다.
그 이후 고3 때 6개월간 고1부터 고3 내용까지 싹 익혀서 결국 수학을 극복했지만
나머지 정리는 수학을 잘하던 학생을 나락으로 떨어뜨린 단원이었습니다.
이런 경험을 했기 때문에 학생들에게는 저와 같은 경험을 하지 않도록 나머지 정리를 이해하기 위해 심혈을 기울였습니다.
아래 내용은 그 나머지 정리를 완벽히 이해하기 위한 핵심입니다.
더 자세한 내용은 증명교재에서 만날 수 있습니다.
대체 나머지 정리란 무엇인가?
학생들에게 물어보면 피타고라스의 정리를 물어보면 술술 대답합니다.
하지만 나머지 정리를 물어보면 많은 학생들이 대답을 하기 어려워합니다.
그건 배울 때 나머지 정리가 무엇인지 제대로 각인이 되지 않고 문제만 풀었기 때문입니다.
나머지 정리는 다음 문장을 통째로 외워야 합니다.
“다항식 \(f(x)\) 를 일차식 \(x-a\) 로 나눈 나머지는 \(f(a)\) 이다. “
문장이 바로 튀어 나올 때까지 달달 외워야 합니다.
‘문제 풀면서 익히지’ 정도의 생각으로 익히지 않았으면 좋겠습니다.
뭔지 명확히 알고 있는 것과 어렴풋이 알고 있는 것은 어려운 문제를 풀 때 확실히 달라집니다.
추가로 증명을 외워주는 것이 좋습니다.
어려운 문제를 풀 때 자신도 모르게 사용하기 때문입니다.
다음과 같은 항등식을 생각해봅시다.
$$ f(x)=(x-a)Q(x)+R$$
항등식이기 때문에 양변에 어떤 수를 대입해도 성립합니다.
양변에 \(a\) 를 대입하면, 다음 식이 성립합니다.
$$f(a)=R$$
이것이 나머지 정리의 증명입니다.
나머지 정리의 핵심
나머지 정리는 식을 쓰는 것이 아니라 “대입”을 하는 것입니다.
다시 말해, 나머지를 구하기 위해 수를 대입하는 것입니다.
식을 써서 이차 이상의 나머지를 구하는 것은 나머지 정리를 이용하는 것 뿐입니다.