무지성으로 미분해서 0을 찾아도 된다.
고등학교 시절 문제에서 최댓값을 구하라고 할 때 미분해서 \(0\) 이 되는 \(x\) 를 찾았습니다.
원리는 잘 모르겠는데 그렇게 하면 99%는 맞았기 때문에 꺼림직하지만 그냥 넘어갔습니다.
시간이 흘러 일년에 같은 수능 문제를 수백 번씩 보고 개념을 수백 번 씩 설명을 하고 나니 이제 명확한 설명이 가능해졌습니다.
다음과 같은 상황에서는 최댓값을 구할 때 미분부터 해도 되는 것입니다.
- 실수 전체에서 최댓값을 구할 때
- 열린 구간에서 최댓값을 구할 때
위와 같은 상황에서는 최댓값은 반드시 극댓값과 동일하기 때문입니다.
( 최솟값은 극솟값과 동일합니다. )
수능은 해설이다.
수능 문제는 해설을 문제에 그대로 적어놓습니다.
그 이유는 어떤 상황을 제대로 설명하려면 다 설명할 수 밖에 없기 때문입니다.
즉, 문장을 제대로 바라볼 수 있다면, 써 있는 그대로 따라가기만 하면 풀리는 것입니다.
그래서 최댓값 혹은 최솟값 문제를 볼 때 반드시 주위의 단어를 잘 살펴야 합니다.
위에서 말한 “실수 전체” 혹은 “열린 구간” 을 유심히 살펴보시길 바랍니다.
예를 들어, 2023년 수능 12번 문항은 열린 구간 \((0,4)\) 에서 정의된 함수가 \(x=2\) 에서 최솟값 \(0\) 을 갖는다고 했습니다.
이 말은 열린 구간에서 최솟값을 가지므로 그 점은 극솟점입니다.
따라서 미분하면 도함수가 \(x=2\) 의 근방에서 부호가 \(-\) 에서 \(+\) 로 변한다는 것을 알려주고, 게다가 \(f(2)=0\) 이라고 알려주는 것입니다.
이렇게 문장을 제대로만 바라볼 수 있다면 4점짜리 문제를 1분도 안되서 풀 수 있는 것입니다.