합성함수의 극한에서 암산은 절대 금물!
다음과 같은 함수의 극한을 구한다고 생각해봅시다.
$$\lim_{x \to a}{f(g(x))}$$
그런데 이때, 그래프를 보면서 판단하면 실수할 수밖에 없습니다.
1등급을 꾸준히 유지하는 학생들도 실수를 많이 하는 부분입니다.
지금 이 글을 쓰는 이유도 하나고에 다니는 상위권 학생이 실수를 했기 때문에 쓰는 것입니다.
좌극한과 우극한을 손으로 쓰자.
좌극한을 $$f(g(a-))$$
우극한을 $$f(g(a+))$$
이렇게 써놓고, 그래프를 보고
각각의 값을 구하여 다음 단계로 넘어가야 합니다. 즉, 가령 \(g(a-)=0-\) 이고, \(g(a+)=0+\) 이라고 할 때
위의 값을 다시 한 번 ( 암산하지 말고 조금만 손을 움직여서 )
$$f(g(a-))=f(0-)$$
$$f(g(a+))=f(0+)$$
과 같이 쓰는 것입니다. 그 다음에 \(y=f(x)\) 함수 위에서 값을 찾으면 실수를 하지 않을 것입니다.
흔히 실수하는 예시
위의 문제에서 다음이 맞는 지 확인하는 문제입니다. 2010년 9월 가형 8번 문제입니다.
$$\lim_{x \to 0}{g(f(x))}=-2$$
정답은 무엇일까요?
눈으로 보면 맞다고 나오는데 실제로 시스템적으로 풀면 틀리게 나옵니다.
아마도 사람의 인지 문제 때문인 듯합니다.
그래서 합성함수의 극한은 반드시 손으로 시스템적으로 생각없이 자동으로 나오게 해야 합니다.
하지만! 학생들에게 손으로 쓰라고 하면 자신은 암산을 하지 않았다고 하지만 진짜 손을 안 움직입니다.
속함수 극한 쓰기, 겉함수의 극한 쓰기의 2단계를 모두 적는 연습을 해야만 남들 틀릴 때 자신은 틀리지 않습니다.