밑을 바꿀 수 있는 지 확인한다.
자연수 \(a\) 에 대하여 \(a^n\) 의 \(m\) 제곱근 즉, \(a^{\frac{n}{m}}\) 이 자연수가 되기 위한 조건을 생각해봅시다.
이 때, 밑은 다음과 같이 분류할 수 있습니다.
- 어떤 수의 거듭제곱이 아닌 수
- 제곱수
- 세제곱수
- \(1\)
네제곱수 이상도 가능하지만 평가원에서는 최대 세제곱수에 관한 문제만 나왔습니다.
그래서 \(a\) 가 어떤 수인지에 따라 각각 다음과 같은 수가 자연수가 되면 \(a^{\frac{n}{m}}\) 이 자연수가 됩니다.
- 거듭제곱이 아닌 수는 \(\frac{n}{m}\)
- 제곱수이면 \(\frac{2n}{m}\)
- 세제곱수이면 \(\frac{3n}{m}\)
- 밑이 \(1\) 이면 지수가 어떤 수가 되든 상관이 없다.
약수의 개수
어떤 자연수의 약수의 개수를 구하는 방법은 중학교 1학년때 배웠습니다.
위의 문제에 연관이 되서 나오기 때문에 복습할 필요가 있습니다.
소수 \(p, q, r \) 에 대하여 자연수 \(N\) 이 다음과 같이 소인수분해된다고 해봅시다.
$$N=p^x\cdot q^y \cdot r^z$$
이 때, 약수의 개수는 지수에 \(1\) 씩 더하여 각각을 곱한
$$(x+1)(y+1)(z+1)$$
이 됩니다.
\(x^n-a\) 의 인수분해
지수 단원에서 학생들이 어려워하는 부분 중의 하나입니다.
기초적인 내용인데 패스하기 때문입니다.
다음을 반드시 기억해야 합니다. (통째로 외워도 됩니다.)
\(n\) 이 홀수일 때, 다음과 같이 인수분해됩니다.
$$x^n-a=(x-a^{\frac{1}{n}})Q(x)$$
\(n\) 이 짝수일 때, 다음과 같이 인수분해됩니다.
$$x^n-a=(x-a^{\frac{1}{n}})(x+a^{\frac{1}{n}})Q(x)$$
마치며
위의 내용만 보면 쉽기 때문에 틀리지 않을거라 다들 자신합니다.
하지만 문제에서 제약조건을 잘 보지 않기 때문에 은근히 많이 틀립니다.
“밑”을 변환할 수 있는 지 “밑”이 \(1\) 인지 반드시 기억하시길 바랍니다.
또한, \(x^n-a\) 의 인수분해도 각각의 경우를 외워놓아야 합니다.